Équations Fonctionnelles et Interactions

Prenant la suite du GDR EFI de l'INSMI (2019-2023), l'axe EFI (pour Équations Fonctionnelles et Interactions) a pour but de fédérer les nombreux chercheurs et chercheuses qui travaillent en France dans des domaines dont les équations fonctionnelles sont soit l'objet d'étude soit des outils importants pour les applications. Ces domaines concernent les mathématiques « pures » et « appliquées », l'informatique et la physique théorique. On observe actuellement des interactions de plus en plus fortes entre la théorie et les applications, de nombreuses actions communes ayant eu lieu depuis une dizaine d'années.


©Yan Bernard "Paralogisme routier"

Par équations fonctionnelles, on entend principalement les équations différentielles ordinaires, aux différences, aux q-différences, mahlériennes, linéaires ou algébriques, éventuellement multivariées. Le cas différentiel algébrique non linéaire concerne par exemple les équations de Painlevé. Tous ces types d'équations fonctionnelles ont été et sont toujours très activement étudiés de nombreux points de vue : algébrique, algorithmique, arithmétique, combinatoire, logique, géométrique, physique, etc. Citons par exemple les aspects suivants :

• Théorie de Galois des équations fonctionnelles : aspects algébriques et analytiques des équations fonctionnelles, groupoïde de Malgrange et équations de Painlevé, (q-)hypergéométrie, phénomène de Stokes, (non-)intégrabilité des systèmes dynamiques et physiques.
• Aspects effectifs des équations fonctionnelles : calcul des groupes de Galois différentiels/aux différences, factorisation d'équations fonctionnelles, calcul des équations de Picard-Fuchs, p-courbure.
• Combinatoire : séries génératrices dans des problèmes de dénombrement (marches sur un réseau, familles de cartes, graphes), théorie des partitions, théorie des automates.
• Logique : application de la théorie des modèles à la théorie de Galois différentielle, o-minimalité.
• Théorie des nombres : fonctions spéciales arithmétiques, périodes, équations fonctionnelles sur les corps finis.